The Stanford Bunny in 3D Wonderland
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In the world of digital imaging, the classic photo of “Lenna” in her feathered hat serves as the universal benchmark for image processing (for her story, see Lenna 97 (NSFW)). If we were to find its authoritative counterpart in the 3D domain, the Stanford Bunny is undoubtedly the one.
It even has its own Wikipedia page. On Reddit, it’s common to see users rendering or 3D-printing the model, with the comments section inevitably bringing up Lenna (haha). It was also inducted into the 3D Sample ...
观陶哲轩演讲-AI与数学-后有感
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国科大-随机过程-写在后面
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国科大-随机过程-连续时间马尔可夫链
主要讲解了连续时间的马尔可夫链，并探讨其在排队模型中的应用。首先回顾了马尔可夫链的基本概念，随后深入讨论了连续时间马尔可夫链的转移概率、CK方程，以及生灭过程在排队理论中的重要性，分析了MM1和MMK模型的特性，并通过Q矩阵的构建解决排队问题，最后讨论了排队系统的稳态条件以及服务率与到达率之间的关系对系统稳定性的影响。
2. 连续时间马尔可夫链的定义
连续时间马尔可夫链是一种随机过程，其特性为在任意两个时刻之间，过程只能在特定状态之间进行转移，而转移的时间间隔是不固定的。这种模型相比离散时间马尔可夫链更加复杂，能够更真实地模拟许多实际现象。
2.1 马尔可夫性质
马尔可夫性质是指未来的状态仅依赖于当前状态，与过去状态无关。这一特性在离散和连续时间模型中均成立。这意味着通过当前的状态可以准确推测出未来的行为，从而简化了复杂系统的分析。
3. CK方程
CK方程是描述连续时间马尔可夫链状态转移行为的重要方程，它通过对转移过程的空间分解来更好地分析状态之间的转移，帮助理解复杂的转移结构。
4. 转移概率的计算
在离散时间马尔可夫链中，转移概率的计算通过固定的最小时间单元的递推关系完成。借助数 ...
国科大-随机过程-马尔可夫链的转移概率与极限行为
探讨了马尔可夫链的转移概率及其极限行为，介绍了不可约性与非周期性对转移概率极限存在的重要性。通过递推方程，教授展示了如何求解转移概率的极限，并引入了平稳分布的概念，强调了平稳分布与极限分布的区别。此外，还通过实际例子，如赌徒输光问题，阐述了吸收概率和触及时间的计算方法，并提到连续时间马尔可夫链的相关内容。
1. 转移概率的极限行为
1.1 特征与不可约性
马尔可夫链的转移概率在极限行为上具有两个重要特征：
与初始状态无关：转移概率的极限不受初始状态的影响。
与时间无关：在特定的条件下，随机过程会收敛为一个稳定的随机变量。
不可约性是马尔可夫链转移概率极限存在的基本条件之一。所有状态之间必须相通，以保证状态特征的一致性。常反性和周期性也是关系到转移概率有效性的重要因素。
1.2 非周期性与极限存在
在不可约的基础上，还需要引入非周期性限制，确保转移概率的极限存在。这意味着如果某个状态在潜在的路径上访问频率被固定，状态就有可能回归。通过构建递推关系，可以进一步求解转移概率的极限，产生后退方程和前进方程提供了不同的计算视角。
1.3 极限的矩阵性质
如果转移概率存在极限，那么这个极限特征 ...
国科大-随机过程-马尔可夫链中的常反性及其相关概念
讨论了马尔可夫链中的常反性，以及其与转移概率、首次返回概率之间的关系。常反性是描述从某个状态出发，首次返回该状态的概率总和为一的性质。
1. 常反性的定义
常反性指的是某个状态的性质，具体来说，若从状态 \(i\) 出发，首次返回该状态的概率和为1，则称该状态为常反状态。常反性的公式表达为：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} P_{ii}(n) = 1 \]
其中 \(P_{ii}(n)\) 表示从状态 \(i\) 在 \(n\) 步后返回到状态 \(i\) 的概率。
2. 转移概率与首次返回概率的关系
2.1 转移概率
转移概率是描述从一个状态转移到另一个状态的概率，通常用转移概率矩阵表示。转移概率的计算较为简单，且其和可能是发散的，这为判断常反性提供了便利。
2.2 首次返回概率
首次返回概率则是指从某一状态首次返回到该状态的概率。这些路径不允许重复，因此其求和产生的结果小于等于1。这种性质使得理解状态的访问频率变得更加清晰。
3. 随机游动的常反性
3.1 一维随机游动
在一维随机游动中，每个状态的转移只涉及上下两种可能。通过对转移概率的分析，能得出随机游动的返回频率 ...
国科大-随机过程-马尔可夫链的特性及其简化
探讨了马尔可夫链的特性及其简化过程，分析了条件概率、转移概率、状态分类以及长反弹和首达概率等概念。
1. 马尔可夫链的基本定义
1.1 定义
马尔可夫链是一个离散时间和离散状态的随机过程，特点在于未来的状态仅依赖于当前状态，与过去的状态无关。这一特性称为“马尔可夫性”，可用以下公式表示：
\[ P(X_{n+1} = x | X_n = x_n, X_{n-1} = x_{n-1}, \ldots, X_0 = x_0) = P(X_{n+1} = x | X_n = x_n) \]
1.2 转移概率与条件概率简化
马尔可夫链的条件概率特性使得复杂问题可以简化为二元条件问题。通过研究转移概率，我们能够更深入理解状态间的关系。
转移概率 \( P_{ij} \) 表示从状态 \( i \) 转移到状态 \( j \) 的概率。转移概率矩阵 \( P \) 可表示为：
\[
P = \begin{pmatrix}
P_{11} & P_{12} & \cdots & P_{1n} \\
P_{21} & P_{22} & \cdots & ...
国科大-随机过程-泊松过程中的独立增量和平稳增量
探讨了泊松过程中的独立增量和平稳增量的性质，尤其关注事件间隔的分布问题。通过对事件发生时间和间隔的分析，教授指出在给定事件发生次数的情况下，事件时刻服从均匀分布的顺序统计量。这堂课还强调了微元法和对称函数在解决复杂概率问题中的重要性，并通过案例展示了如何设计发车间隔来最小化乘客等待时间。
1. 泊松过程的基本概念
1.1 独立增量和平稳增量
泊松过程的两个关键特性为：
叠加性：在非重叠区间内，事件的增量相互独立。
平稳增量：增量的分布不随时间变化。这意味着事件发生的规律在任何时间段内都是一致的。
此性质使得泊松过程能够被有效地用于建模不同时刻的独立事件，比如业务电话的接入或顾客的到达。
1.2 指数分布
在泊松过程中，任意两个事件之间的间隔遵循指数分布，具有以下概率密度函数：
\[ f(t; \lambda) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0 \]
其中，\(\lambda\) 是单位时间内的事件发生率。
2. 条件概率及其重要性
2.1 条件概率的概念
条件概率用于描述事件 \(A\) 在事件 \(B\) 已发生的前提下的发生概率， ...
2023年度总结
工作：
点云矢量建模：
通过多视几何重建或者激光雷达扫描出来的三维模型一般是用稠密点云，或者密集三角网格来表示。这种表现形式对于小型物体或者自由表面是合理的、可以接受的，但对大规模场景或者有规律的表面则是冗余的，在很多应用中是不可接受的。例如城市级场景中，当前三维重建系统得到的模型可以有高达数十亿个顶点，这不论是对存储、传输、渲染、还是后续应用处理都是非常困难的。
如何从这种稠密表达的三维模型中抽取重要的语义、结构和拓扑信息，并将它们以更紧凑、简洁的形式呈现出来并和后续应用需求对接起来，一直是三维重建领域的痛点问题。这种生成精简几何结构模型的过程，就是所谓的矢量化建模(vectorized modeling)。在图像领域，大家熟知的SVG、PDF等二维矢量图形(vector graphics)指的是：定义在二维点上，通过直线或基于数学方程的曲线连接起来，组合成多边形或其他形状来表示的图形。和常见的JPEG、PNG等栅格图像(raster graphics)相比，具有体积小，缩放不变性。类似的，三维矢量建模就是从离散的、密集的点或三角面片表示的模型，来得到通过三维点、平面、基于数学方程描 ...
国科大-随机过程-泊松过程3
在随机过程的研究中，泊松过程是一种重要的模型，特别适用于描述事件在固定时间内发生的次数。它的基本假设包括独立增量和平稳增量，展现了事件发生的随机性和规律性。
2. 泊松过程的基本性质
2.1 事件间隔与指数分布
在泊松过程中，任意两个事件之间的时间间隔遵循指数分布，其概率密度函数为：
\[ f(t; \lambda) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0 \]
其中，λ为事件发生的强度。这个特性表明，各事件之间的时间间隔是独立且具有相同分布的。
2.2 事件的均值与观察点
通过计算特定事件间隔的均值，可以得出事件间隔与参数λ之间的关系：
\[ E[T] = \frac{1}{\lambda} \]
这说明，λ越大，事件发生的均值越小，反之亦然。观察时间点的选择可能导致事件发生次数的变化，这种不确定性值得深入分析。
3. 条件概率和随机变量的独立性
3.1 条件期望
条件期望用于描述在给定条件下随机变量的期望值。通过全概率公式可以将复杂事件拆解为简单事件的和，以便于计算：
\[ E[X|Y] = \sum_{y} E[X|Y=y] P(Y=y) ...