国科大-随机过程-随机过程及其相关函数详解

随机过程是概率论中的一个重要概念，涉及到一系列随机变量在不同时间点的演化过程。理解随机过程对于分析和处理诸如金融市场、信号处理等领域的随机现象至关重要。本节将深入探讨随机过程的定义、相关函数的性质及其在宽平稳过程中的表现。

1. 随机过程的基本概念

随机过程可以被视为一个随机函数，其输出是随机变量而非确定性值。对于给定的时间 \( T \)，随机过程会生成一个随机变量，因此，随机过程可以理解为随时间变化的随机变量序列。我们通过样本轨道来理解随机过程的特性，这些轨道可以是随机过程的实际表现，例如股票价格的变化曲线。

相关函数是分析随机过程的重要工具，它描述了在不同时间点的随机变量之间的相关性。相关函数可以帮助我们更深入地理解随机过程的行为和特性。

相关函数 \( R_X(t_1, t_2) \) 定义为在时刻 \( t_1 \) 和 \( t_2 \) 的随机变量 \( X(t_1) \) 和 \( X(t_2) \) 之间的协方差：

\[
R_X(t_1, t_2) = \mathbb{E}[(X(t_1) - \mathbb{E}[X(t_1)])(X(t_2) - \mathbb{E}[X(t_2)])]
\]

平稳性是随机过程中的一个关键性质，指的是统计性质不随时间变化。平稳过程具有如下特性：

宽平稳是平稳性的一个特例，宽平稳过程的相关函数仅依赖于时间差：

\[
R_X(\tau) = \mathbb{E}[X(t)X(t+\tau)]
\]

偶函数特性: 宽平稳随机过程的相关函数 \( R_X(\tau) \) 是偶函数，即 \( R_X(\tau) = R_X(-\tau) \)。这表明相关函数具有对称性。
零点取值: 在宽平稳条件下，相关函数在零点的取值 \( R_X(0) \) 是大于等于零的。它代表了随机过程在同一时刻的自相关性，通常为过程的方差。

通常情况下，随着时间差 \( \tau \) 的增大，相关函数 \( R_X(\tau) \) 的值会逐渐减小，这表明随机变量之间的相关性随着时间的推移而减弱。

相关函数具有正定性，即对于任意的非零向量 \( a \) ，都有：

\[
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i a_j R_X(t_i - t_j) \geq 0
\]

这一性质对于确保随机过程的实际意义至关重要，并在实际应用中用于验证相关函数的正确性。

在周期函数的积分中，起始相位并不会影响积分结果，因此在特定条件下，积分的结果可能为零。这种现象在分析宽平稳随机过程时具有重要意义。

随机过程中的跳变次数是一种重要的随机变量，其分布通常遵循泊松分布。跳变次数与时间间隔 \( T \) 密切相关，并且可以通过伯努利和泊松分布来分析这些跳变的概率。

在微积分中，处理偶数与基数的求和是一个重要技巧。通过正负抵消的方法，可以简化计算过程，例如在随机过程的分析中，偶数和基数的概率趋于相等。

宽平稳随机过程的判断主要依赖于时间变量之间的差异关系。通过相关函数的分析，可以确认随机过程是否具有宽平稳性。随机电报信号就是宽平稳随机过程的一个典型例子，其信号的跳变规律遵循泊松分布。

相关函数的局部特性可以影响全局特性。若相关函数在某一点具有抬头现象，则可能导致其以特定规律震荡，从而形成周期性变化。

在讨论随机变量的期望时，线性算子的特性至关重要。柯西不等式可以帮助理解随机变量的平方及其期望之间的关系，并进一步分析相关函数的性质。

正定性是相关函数的重要特性，为随机过程的进一步分析提供了坚实的数学基础。下一步的学习将深入探讨正定性与傅立叶分析的关系，进一步加深对相关函数的理解。

通过对随机过程及其相关函数的深入探讨，理解了宽平稳随机过程的关键特性及其在实际应用中的重要性。相关函数作为分析工具，帮助揭示随机过程的内在规律，而其正定性、平稳性等性质为随机过程的进一步研究奠定了基础。