国科大-随机过程-随机过程概念及其分类

介绍随机过程的基本概念，重点学习随机变量之间的关联关系。课程分为两个学期，内容主要包括线性相关和马尔可夫性。线性相关是随机变量关联的基础，广泛应用于电子信息领域；马尔可夫性则相对复杂，涉及离散和连续时间的马尔可夫过程。

推荐教材为陆大金和张颢编写的教科书，以及帕普利斯（Papoulis）和Sharon Rose的参考书。

1. 随机过程与随机变量

随机过程是一门重要的学科，主要研究多个随机变量之间的关系与相互影响。这门课程旨在帮助学生深化对随机变量的理解，以便更好地应用于实际问题，尤其是在电子信息领域。

随机变量是概率论和随机过程的核心概念。它从样本空间映射到实数轴，可以通过分布函数和概率密度函数来刻画其特性。在随机过程的学习中，线性相关性和马尔可夫性是两个重要的研究方向。

线性相关性对于理解随机变量之间的关系至关重要，尤其是在电子信息领域的应用。线性相关性的研究不仅仅局限于简单的线性回归分析，还包括对随机变量之间更复杂关联的探讨。

当一个随机变量的变化不影响另一个随机变量的分布时，这两个变量是独立的。如果分布随着另一个变量的变化而变化，则表明它们之间存在相关性。通过观察随机变量的等高线形状，可以判断它们之间的关系。例如，等高线呈圆形可能意味着变量之间存在依赖关系。

在统计学中，线性相关性通过几何角度（如内积）进行分析，可以更直观地理解随机变量之间的关系。交叉项的分析也是理解变量关联的重要手段。

马尔可夫性是随机过程的另一个重点，尽管其概念相对复杂，但在许多应用场景中同样重要。学习离散状态和连续时间的马尔可夫过程，有助于更好地理解随机过程的动态特征。

马尔可夫过程是指当前状态只依赖于前一个状态，而与之前的所有状态无关。这种无后效性使得马尔可夫过程在建模动态系统时具有广泛的应用，如排队论、库存理论和金融工程等领域。

理解随机变量及其分布是概率论和随机过程的重要组成部分。常见的分布形式包括二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和高斯分布。掌握这些分布有助于分析实际问题并进行概率计算。

二项分布描述了在n次独立试验中成功的次数，而泊松分布则适用于描述在固定时间内发生的事件数量。当试验次数n很大而成功概率p很小时，二项分布可以通过泊松分布近似。

构造相关矩阵是处理多个随机变量的有效方法。相关矩阵通常具有对称正定的性质，这为统计分析和数据处理提供了强有力的工具。对称正定矩阵的特性，包括自转置和非负特征值，使其在随机过程中的应用尤为广泛。

在数学中，双线性性质和判别式是理解一元二次方程的关键。判别式能够帮助判断方程的根的数量和性质，这为进一步的数学运算提供了基础。

随机过程可以看作是一系列随机变量的集合。通过标记这些变量，可以更方便地分析和研究它们之间的关系。标记的性质决定了随机过程的分类，包括连续时间过程和离散时间过程。