在多视图几何中，刚体运动的建模可以通过李群（Lie Group）和李代数（Lie Algebra）来实现。这些数学工具能够简化旋转和平移的表示，并为优化问题提供了有效的解决方案。本文将详细探讨李群SE(3)和李代数se(3)的应用、指数映射的使用，以及如何通过这些工具来处理相机的运动和坐标变换。

李群与李代数的基本概念

李群是一类具有连续变换性质的群，用于描述刚体运动中的旋转和平移组合。SE(3)是一个特殊的李群，用于表示三维空间中的刚体运动，包括旋转和位移。而李代数是李群在单位元素附近的切空间，表示为se(3)。通过李代数，我们能够更直观地处理刚体运动中的微小变化。

李群SE(3)与李代数se(3)

  • 李群SE(3): 描述了旋转和平移的组合，是三维刚体运动的基本结构。它由一个旋转矩阵和一个平移向量组成，通常表示为一个4x4的矩阵。
  • 李代数se(3): 是李群SE(3)的切空间。它由一个3x3的斜对称矩阵（表示旋转）和一个3x1的向量（表示平移）构成，用于描述刚体运动的微小变化。

刚体运动的六自由度表示

刚体运动可以通过六个自由度来表示，包括三个旋转自由度和三个平移自由度。与使用4x4的变换矩阵相比，使用6维向量可以更简洁地描述运动，并简化计算过程。

李群与李代数之间的指数映射

李群和李代数之间的转换通过指数映射（Exponential Map）来实现。指数映射是一种将李代数中的元素转换为李群元素的方法。它将se(3)中的斜对称矩阵通过矩阵指数映射到SE(3)中的旋转和平移。

指数映射与对数映射

  • 指数映射: 将李代数se(3)中的元素映射到李群SE(3)。公式为：
    \[
    R = e^{[\omega]\times} = I + \frac{\sin\theta}{\theta}[\omega]\times + \frac{1-\cos\theta}{\theta^2}[\omega]\times^2
    \]
    其中，\([\omega]    \times\)表示旋转轴\(\omega\)的斜对称矩阵，\(\theta\)为旋转角度。

  • 对数映射: 是指数映射的逆操作，用于将李群中的元素转换回李代数。尽管从李群返回李代数并不唯一，但在实际应用中，通常使用对数函数来实现这一转换。

刚体运动的计算与优化

在多视图几何中，刚体运动的计算和优化常常涉及在非线性空间中求解复杂的变换。使用李代数的线性性质，可以简化这些问题。通过消除多余的约束条件，李代数使得我们在进行相机姿态估计时能够更加高效。

罗德里格斯公式（Rodrigues’ Formula）

罗德里格斯公式提供了一种计算旋转矩阵的方法，避免了矩阵指数的复杂计算。对于一个给定的旋转轴\(\omega\)和角度\(\theta\)，旋转矩阵可以通过以下公式计算：

\[
R = I + \sin(\theta)[\omega]\times + (1-\cos(\theta))[\omega]\times^2
\]

这对于刚体运动的建模非常有用，特别是在优化过程中。

刚体运动中的坐标变换

在三维重建中，选择参考坐标系至关重要。通常，第一台相机的坐标系被用作参考，以方便将世界坐标映射到相机的运动状态。刚体运动使得我们能够描述物体在不同时间点的运动，并通过旋转和平移变换坐标。

运动相机的坐标变化

当相机移动时，空间中的静止点在相机坐标系中的位置会发生变化。通过刚体运动的旋转和平移，我们可以描述这些点在不同时间点的感知速度和位置。

刚体运动的Twist表示

Twist表示法是一种描述刚体运动的方法，包括旋转和位移。它通过将李群SE(3)的元素表示为李代数se(3)的斜对称矩阵和向量组合来实现。

欧拉角与李代数的关系

欧拉角是另一种表示三维旋转的方式，它通过围绕x、y、z轴的依次旋转来描述物体的旋转状态。尽管欧拉角在某些情况下较为直观，但在高维空间中，李代数的表示通常更加简洁和有效。

欧拉角的定义与应用

  • 欧拉角: 定义为绕三个固定轴的旋转顺序。每个旋转角度对应不同的轴，通常用\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)表示。这些旋转角度的组合描述了物体的整体旋转。

  • 李代数与欧拉角的转换: 通过选择合适的基，可以将李代数中的旋转矩阵表示为欧拉角的形式。这种转换在航空航天等领域应用广泛。

结论

通过李群和李代数，我们能够有效地建模刚体运动，特别是在多视图几何中。指数映射和对数映射提供了在李代数与李群之间转换的工具，使得在三维空间中的旋转和平移变得更加直观。此外，理解欧拉角与李代数的关系，有助于我们在不同应用场景中选择合适的旋转表示方法。