介绍了多视图几何的基础知识，重点在于线性代数的关键概念，包括向量空间、线性变换和矩阵的性质。回顾了线性代数的基本定义，如向量空间的封闭性、线性独立性及基的概念，并讨论了奇异值分解和内积的定义。课程还探讨了矩阵的秩、范围和核的概念，以及如何通过这些概念来解决线性方程组。最后，提到了一些重要的矩阵群体，如一般线性群和特殊线性群，以及它们在多视图重建中的应用。

1. 线性代数的基本概念

向量空间是线性代数的基础，定义为一个在向量加法和标量乘法下封闭的集合。向量空间的封闭性意味着对于任意两个向量 \(\mathbf{u}\) 和 \(\mathbf{v}\) 及标量 \(a\)，线性组合 \(a\mathbf{u} + \mathbf{v}\) 仍然属于该向量空间。这一性质在理解线性代数时非常重要。

线性变换及矩阵是线性代数的核心概念。矩阵描述了从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射。矩阵的秩（rank）、可逆性、以及矩阵的行列式（determinant）是解决实际问题和执行计算时的关键因素。特别地，矩阵的秩决定了线性方程组解的存在性和唯一性。

奇异值分解（SVD, Singular Value Decomposition）是一种强大的工具，将任意矩阵分解为三个矩阵的乘积，即 \(A = U \Sigma V^\top\)，其中 \(U\) 和 \(V\) 是正交矩阵，\(\Sigma\) 是对角矩阵。这种分解在数据分析、图像处理等领域具有广泛的应用，能够简化复杂问题的解决方案。

2. 向量空间的进一步探讨

在向量空间中，线性无关性是一个非常重要的概念。一个向量集被称为线性无关，当且仅当集合中的任意一个向量不能用其他向量的线性组合表示。否则，该集合称为线性相关。线性无关性确保了每个向量都提供新的信息，在线性代数中，这种无冗余的性质尤为重要。

  • 线性无关的向量集合对于构建基底（basis）至关重要。基底是向量空间中的一个最大线性无关集合，能够完全生成该向量空间，使得每个向量都可以表示为基底向量的线性组合。
  • 向量的唯一表示是线性代数的核心性质，即每个向量都可以唯一地表示为基底向量的线性组合，这一性质在许多数学和物理应用中非常有用。

3. 基变换和内积

基变换是指将一个基向量集表示为另一个基向量集的过程。这种变换在重建世界时非常重要，因为在不同的基下，向量的表示形式可能会改变，但其几何意义不变。基变换的系数形成一个矩阵，称为基变换矩阵。这个矩阵使我们能够从一个坐标系转到另一个坐标系，帮助理解不同表示之间的关系。

内积（dot product 或 scalar product）定义为两个向量的乘积，具有线性、对称和正定性等性质。对于向量 \(\mathbf{u}\) 和 \(\mathbf{v}\)，内积定义为：

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i
\]

内积用于定义向量的范数（norm），即向量的长度：

\[
|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}
\]

内积还可以用于定义两个向量之间的夹角，从而进一步扩展到度量（metrics），例如欧几里得距离（Euclidean distance）。

4. Hilbert空间及其应用

在讨论向量空间时，特别提到了Hilbert空间，它是一个具有完备内积结构的向量空间。典型的内积定义如前所述，对于理解向量之间的关系非常重要。Hilbert空间广泛应用于量子力学、信号处理等领域。

  • 典型内积在向量空间中的定义通过对两个向量的分量求和来计算。其在几何上的解释使得我们能够直观地理解向量之间的关系。
  • 正交性是内积的重要性质，即两个向量的内积为零表示它们是正交的，这在信号处理和数据分析中具有重要意义。例如，在正交分解中，向量可以被分解为正交的分量，从而简化问题的求解。

5. 线性变换的基本概念

线性变换（linear transformation）在科学和数学中具有重要应用，理解其性质对于后续学习至关重要。线性变换保留向量空间的加法和标量乘法性质，如果一个变换 \(T\) 满足：

\[
T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
\]

\[
T(a\mathbf{u}) = aT(\mathbf{u})
\]

则称 \(T\) 是线性变换。线性变换可以通过基向量的变换完全表征，通过了解线性变换对基向量的影响，可以推导出对任意向量的变换。

矩阵不仅代表线性变换，还可以用来研究线性变换的性质。所有线性变换都可以转化为矩阵操作，这使得线性代数的学习更加系统化和结构化。

6. 单位矩阵和逆矩阵

单位矩阵（identity matrix）和逆矩阵（inverse matrix）是线性代数中的重要概念。单位矩阵 \(I\) 在矩阵乘法中不改变其他矩阵的值，而逆矩阵 \(A^{-1}\) 则使得乘积的结果回到单位矩阵：

\[
A A^{-1} = A^{-1} A = I
\]

在群的定义中，任何元素都有逆元素，这是群的重要特征。可逆矩阵形成的群称为一般线性群（General Linear Group, GL），包含所有可逆的方阵，并且在矩阵乘法下是封闭的，具有逆元素。

特殊线性群（Special Linear Group, SL）是指行列式为1的方阵群，是一般线性群的子群。特殊线性群的矩阵在几何变换中特别重要，例如在保持体积的线性变换中。

7. 矩阵表示和群同态

矩阵表示群体的方法使得每个群元素都可以与具体的矩阵表示相关联。群同态（homomorphism）是一种将一个群映射到另一个群的函数，保持了运算的一致性。在处理旋转和其他变换时，群同态的概念使得使用矩阵运算简化计算，保持群体结构的完整性。

通过矩阵表示，我们可以有效地处理相机的旋转和移动等变换。六个自由度的组合使得我们可以在三维空间中灵活操作，使用矩阵计算大大简化了复杂度。

仿射变换（affine transformation）则引入了在非线性情况下依然可以使用线性代数技巧的可能性。通过将维度增加一维，仿射变换可以被转化为线性变换，从而方便后续的计算。

8. 齐次坐标和仿射变换

通过扩展到齐次坐标（homogeneous coordinates），我们可以使用仿射矩阵表示一般的仿射变换。仿射矩阵是可逆的，并形成GL(n+1)的一个子群，这是线性代数中的重要概念。仿射变换包括平移、旋转、缩放等操作，能够保留直线性，使其在几何学和计算机视觉中得到广泛应用。

齐次坐标使得三维中的仿射变换可以使用矩阵乘法统一表示，从而简化了许多复杂的几何操作。