多视图几何在计算机视觉中扮演着关键角色，尤其是在3D重建中。矩阵变换和奇异值分解（SVD）是多视图几何中的重要工具。SVD不仅用于求解欠定的线性方程组，并找到最小范数解，还在3D重建、刚体运动、透视投影等问题中提供了重要帮助。

矩阵变换与特征值分解

矩阵表示旋转和平移

在三维空间中，矩阵通过齐次坐标系来表示旋转和平移。齐次坐标将3D点扩展为4D向量，使得旋转和平移操作可以统一为矩阵乘法。这种表述在刚体运动中尤为重要，描述了相机在三维空间中的运动。

  • 刚体运动：刚体运动可以通过特殊欧几里得群 \(SE(3)\) 来表示，包括旋转矩阵和平移向量。这个表示展示了矩阵在三维空间中的变换和自由度。

  • 特征值与特征向量：特征值与特征向量在复值矩阵中有重要意义。右特征向量在矩阵乘法后仅发生缩放，通过研究它们可以理解矩阵对向量的影响。这在应用线性代数处理图像中的矩阵运算时非常有用。

    \[
    A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
    \]
    其中，\(\mathbf{v}\) 是特征向量，\(\lambda\) 是特征值。

特征值方程与性质

特征值和特征向量在矩阵代数中起着关键作用。特征值方程通过确定矩阵的特征值来帮助理解矩阵的行为。特征向量的线性无关性，以及特征值作为特征方程的根，都是基本概念。

  • 特征方程：通过行列式求解特征值方程，仅当行列式为零时，才存在非零特征向量。

    \[
    \det(A - \lambda I) = 0
    \]

  • 对称矩阵的性质：对称矩阵具有实数特征值，不同特征值对应的特征向量彼此正交。对称矩阵可以对角化，转换为对角矩阵，从而简化对向量的作用。

    \[
    A = Q\Lambda Q^T
    \]
    其中，\(Q\) 是正交矩阵，\(\Lambda\) 是对角矩阵。

奇异值分解（SVD）

SVD的基本概念

奇异值分解是一种用于将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法：两个正交矩阵 \(U\) 和 \(V\)，以及一个对角矩阵 \(\Sigma\)。SVD 是广义特征值分解的推广，适用于任意矩阵。

  • 公式表示：

    \[
    A = U\Sigma V^T
    \]
    其中，\(U\) 和 \(V\) 是正交矩阵，\(\Sigma\) 是包含奇异值的对角矩阵。

  • 几何解释：SVD 可以将单位球体映射为椭球体，这些椭球体的主轴方向由矩阵 \(U\) 和 \(V\) 决定，轴长由 \(\Sigma\) 中的奇异值给出。

SVD在3D重建中的应用

SVD 在多视图几何中有着广泛的应用，尤其是在处理矩阵操作的简化和理解矩阵作用方面。

  • 基变换与矩阵缩放：通过 SVD，矩阵的基变换和缩放效应可以被清晰地表达。SVD 的几何意义在于将原始空间中的基向量映射到新的基向量，并对其进行缩放，这在计算图像变换中尤为重要。

  • 伪逆矩阵的应用：在处理欠定方程组时，广义逆矩阵（或称伪逆矩阵）提供了一种找到最小范数解的方法。SVD 是构造伪逆矩阵的核心工具。

    \[
    A^+ = V\Sigma^+ U^T
    \]
    其中 \(\Sigma^+\) 是 \(\Sigma\) 的伪逆。

多视图几何与SLAM

多视图几何的挑战

多视图几何是视觉SLAM（同时定位与地图构建）中的重要问题。通过两个或多个视角重建三维场景是一项复杂的任务，尤其是在处理刚体运动和透视投影时。

  • 透视投影的挑战：透视投影是三维场景投影到二维图像平面的过程中丢失深度信息的主要原因。这需要借助额外的场景假设来解决。例如，利用平行假设和已知的标定信息来恢复丢失的深度信息。

  • 多视图几何的历史背景：多视图几何的研究可以追溯到20世纪初，并在近年来随着计算机视觉的发展成为重要的研究方向。在计算机出现之前，早在1950年代和1960年代，学者们就开始研究从图像中重建三维场景的技术。

视觉SLAM中的应用

视觉SLAM 涵盖了同时定位和地图构建的概念，在机器人学和计算机视觉中有广泛应用。

  • 结构和运动问题：在计算机视觉中，结构和运动问题涉及对三维点位置和相机运动的重建。在机器人学中，这个问题通常与视觉SLAM相关，通过多视图的分析，帮助机器人在未知环境中定位和建图。

  • 简化问题的方法：科学研究通常从简化问题开始，如从两个视角的情况逐渐过渡到多个视角的情况，进而理解多视图几何的复杂性。