多视图几何是计算机视觉中的一个重要领域，尤其是在3D重建中。刚体运动可以通过数学工具如李群和李代数来建模，它们为相机运动的优化提供了强大的框架。在这种建模中，通过指数映射可以在李群和李代数之间进行转换，进而有效地处理旋转和平移的组合。

2. 三维空间与相机运动建模

2.1 李群与李代数

李群是一个具有连续变换结构的群，用于描述相机的连续运动。李代数是李群在单位元附近的切空间，用于描述微小变换。

  • 李群 (\(G\))：表示刚体运动的连续变换群，具有群的性质（封闭性、结合性、单位元、逆元）。
  • 李代数 (\(\mathfrak{g}\))：描述了李群在单位元附近的局部性质，是李群在单位元处的切空间。

在三维欧几里得空间中，刚体运动可以用特殊欧氏群 \(SE(3)\) 来表示，它结合了旋转和平移。这些数学工具允许我们在复杂的场景中进行相机姿态的优化和三维重建。

2.2 三维空间中的点和向量

在三维空间中，点可以用三个坐标来表示，这些坐标与 \( \mathbb{R}^3 \) 中的元素相关联。向量的概念在多视图几何中尤为重要，包括自由向量和限制向量。自由向量在欧几里得空间中构成一个线性空间，允许描述三维物体的运动和变形。

3. 刚体运动的性质

刚体运动保持物体的长度、角度和体积不变，这使得它在描述物体运动和形变时非常重要。

  • 保持向量长度：在刚体运动中，向量的长度保持不变。这意味着物体不会拉伸或压缩。
  • 保持向量叉乘：刚体运动保持向量之间的叉乘不变，保证物体在旋转和平移中的体积保持不变。
  • 保持体积不变：刚体运动不会改变物体的体积，这与非刚性运动不同。

通过刚体运动，我们可以将旋转和平移分离出来进行处理，从而简化多视图几何中的计算。

4. 刚体运动的数学表示

刚体运动可以通过旋转矩阵和平移向量的组合来表示。

4.1 旋转矩阵

旋转矩阵 (\(R\)) 是描述刚体运动的核心工具，它具有以下性质：

  • 正交性：旋转矩阵是正交矩阵，满足 \( R^T R = I \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
  • 行列式为 1：旋转矩阵的行列式为 1，即 \( \det® = 1 \)，确保了旋转不改变物体的体积。

4.2 特殊欧氏群 \(SE(3)\)

特殊欧氏群 \(SE(3)\) 结合了旋转矩阵 \(R\) 和平移向量 \(t\)，用于描述刚体运动。其元素可以表示为：

\[
T = \begin{pmatrix} R & t \ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]

其中，\(R\) 表示旋转，\(t\) 表示平移。刚体运动在 \(SE(3)\) 中表现为对坐标系的平移和基向量的旋转。

5. 李群和李代数的关系

5.1 李群 \(SO(3)\) 和李代数 \(so(3)\)

  • 李群 \(SO(3)\)：描述三维空间中的旋转，它是一个特殊正交群，包含了所有行列式为 1 的正交矩阵。
  • 李代数 \(so(3)\)：是李群 \(SO(3)\) 的李代数，包含了所有斜对称矩阵。斜对称矩阵 \( \hat{\omega} \) 可以通过一个三维向量 \( \omega \) 生成：

\[
\hat{\omega} = \begin{pmatrix}
0 & -\omega_3 & \omega_2 \
\omega_3 & 0 & -\omega_1 \
-\omega_2 & \omega_1 & 0
\end{pmatrix}
\]

5.2 指数映射与罗德里格斯公式

  • 指数映射：将李代数 \(so(3)\) 中的斜对称矩阵通过指数映射 \( e^{\hat{\omega} \theta} \) 转换为李群 \(SO(3)\) 中的旋转矩阵。这一过程通过求解微分方程得到。

  • 罗德里格斯公式：是计算斜对称矩阵 \( \hat{\omega} \) 的指数映射的有效方法，用于简化旋转矩阵的计算：

\[
R(\theta) = I + \sin(\theta) \hat{\omega} + (1 - \cos(\theta)) \hat{\omega}^2
\]

5.3 李代数在相机运动优化中的应用

李代数 \(se(3)\) 在相机运动优化中起着重要作用。通过使用李代数中的斜对称矩阵进行优化，我们可以避免在旋转矩阵中使用九个参数，而是只需优化三个明确的自由度。这种方法有效简化了优化过程，提高了计算效率。

6. 特殊欧氏群 \(SE(3)\) 和刚体运动

6.1 \(SE(3)\) 的结构

特殊欧氏群 \(SE(3)\) 包含了描述刚体运动的旋转和平移的组合。其李代数 \(se(3)\) 包含了描述这些运动的斜对称矩阵和位移向量。

6.2 扭矩矩阵与刚体运动的六个自由度

  • 扭矩矩阵：描述了刚体在三维空间中的运动，包括三个旋转自由度和三个平移自由度。通过李代数 \(se(3)\)，可以有效地建模这些自由度。

  • 六个自由度：刚体运动的六个自由度包括三个旋转（绕 \(x\)、\(y\)、\(z\) 轴的旋转）和三个平移（沿 \(x\)、\(y\)、\(z\) 轴的平移）。这些自由度构成了刚体运动的基本空间。

7. 总结

多视图几何中的刚体运动通过李群和李代数的数学工具进行建模。通过特殊欧氏群 \(SE(3)\) 和其李代数 \(se(3)\)，可以有效地描述和优化旋转和平移的组合。这些数学工具在3D重建、相机姿态估计等领域中提供了强大的支持，使得复杂的几何变换和优化问题得以简化和解决。