本节课主要讲解了形状插值（morphing）的概念，以及如何利用仿射变换进行点云配准。课程首先回顾了如何建立两个曲面之间的一一对应关系， 接着讲解了形状插值技术，特别是如何在动画制作中通过关键帧之间的插值生成自然流畅的动画。最后，课程介绍了点云配准中的 ICP 算法，包括其基本步骤：最近点匹配和旋转平移的优化。

形状插值 (Morphing)

Morphing 技术概述

  • Morphing 技术能够实现从一个形状到另一个形状的无缝转换，广泛应用于动画制作。
  • 通过 Morphing 技术，艺术家只需设计关键帧，其余帧可以通过插值技术自动生成，从而大幅提高动画制作效率，并保持动画的流畅性和连贯性。

形状插值的关键步骤

  1. 建立对应关系: 使用服务映射（service mapping）技术，在两个曲面之间建立一一对应关系，确保两个网格的连接关系一致，以便进行有效的插值处理。
  2. 兼容匹配: 插值操作需要满足兼容匹配的条件，即网格的连接关系和顶点数量相同。
  3. 生成中间帧: 通过插值算法，在关键帧之间生成中间帧，实现形状的平滑过渡。

网格变换与插值过程

  • 在处理网格变换时，仅顶点的位置需要改变，连接关系保持不变，这样可以确保变换的自然性和直观性。
  • 为了获得自然的视觉效果，插值过程必须平滑，避免出现位置突变。
  • 可以通过细分时间轴并计算多个中间状态来实现平滑过渡。
  • 生成的顶点轨迹应避免明显跳变，保持低扭曲和无翻转，以确保运动的自然性。
  • 简单的线性插值可能导致不自然的结果，因此需要更复杂的方法进行顶点位置的恢复，例如先插值其他几何量，再恢复顶点位置。

形状差值算法设计

算法设计要点

  • 选择合适的量是差值算法的关键，因为它直接影响最终结果的准确性。
  • 恢复形状的方法多种多样，在设计算法时，需要考虑不同的恢复策略，例如基于角度和仿射变换的方法。
  • 通过合理选择初始值和设定中间目标，可以有效避免陷入局部最小值问题。

优化策略

  • 将时间序列分成多个小部分可以提高计算的稳定性。
  • 利用前一个时刻的结果作为初始值，有助于避免陷入不理想的局部最小。
  • 将复杂的优化问题分解为多个小目标可以有效避免直接从起点到终点的挑战，并通过逐步解决中间目标，使优化过程更加平滑。

仿射变换的线性插值方法

  • 直接矩阵插值：简单但可能导致结果不够自然。
  • SVD 分解插值：提取奇异值，得到更平滑的结果。
  • 旋转和缩放分开插值：常用方法，得到更自然的变换结果。

点云配准

点云配准概述

  • 点云配准的目标是寻找空间中的变换，将不同视角下获取的点云数据统一到同一坐标系下，以便进行整合和分析。
  • 常用的配准算法是 ICP（迭代最近点算法），该算法通过迭代查找最近点并调整旋转和平移来最小化两个点云之间的距离。

ICP 算法步骤

  1. 最近点匹配: 为一个点云中的每个点，找到另一个点云中距离最近的点。
  2. 旋转平移优化: 根据匹配的点对，计算最优的旋转和平移变换，使两个点云之间的距离最小化。

旋转矩阵求解

  • 可以通过解析形式来求解旋转矩阵和点云之间的关系，并利用引入平均值的方式简化推导过程。
  • 对称正定矩阵在优化问题中有着重要的应用，可以帮助找到最大值或最小值。