讨论了多视几何中的八点算法和四点算法，重点在于如何从两个视图中估计相机的运动和三维结构。八点算法通过至少八个对应点来解耦相机运动和三维点坐标的重建，利用极线约束来建立2D坐标与相机运动参数之间的关系。四点算法则假设所有点均位于同一平面上，仅需四个点便可实现重建，这在许多实际应用中非常有效。通过线性代数方法，这些算法能够有效地解决结构与运动估计问题。

八点算法概述

八点算法是由 Longuet-Higgins 在1981年提出的。这一算法能够通过观察两个视图中的至少八个对应点，估计出相机的运动和三维结构。八点算法不需要已知的3D坐标信息，而是通过极线几何约束来推导出相机的运动参数。

极线几何约束

极线几何是多视几何中的一个重要概念。给定一对点在两个图像中的匹配，点在一个图像中的对应极线定义了它在另一个图像中的潜在位置。八点算法通过以下步骤来实现：

  1. 构建矩阵系统：使用至少八对点，构建一个矩阵系统来表达图像坐标之间的关系。
  2. 解方程：通过线性代数方法求解该矩阵系统，提取出基础矩阵 \( F \)，并由此推导出相机的运动参数。

本质矩阵与奇异值分解

本质矩阵 \( E \) 是描述两个摄像机间相对运动的关键矩阵，它具有以下特征：

  • 本质矩阵的第三个奇异值为零，前两个相同。
  • 可以通过将非零奇异值归一化为1，简化计算。

利用奇异值分解（SVD），能够从本质矩阵中提取相机的旋转和平移信息。旋转矩阵 \( R \) 和平移向量 \( t \) 可以从本质矩阵的分解中得到，进而确定相机运动的多个可能解。

深度估计与尺度参数

为了恢复三维结构，需要同时估计深度值和缩放参数。这通常通过最小二乘法来求解，将所有点的深度值作为一个整体来计算，以确保一致性。最小二乘法通过最小化目标函数，获得解析解，即最小特征值对应的特征向量，简化计算过程。

四点算法概述

四点算法是一种简化的算法，适用于所有点都位于同一平面的情况。与八点算法相比，四点算法假设至少四个点在同一平面上，因此仅需四个点即可实现重建。

平面假设与单应性矩阵

在计算机视觉中，单应性矩阵用于描述两个相机在同一平面上观察到的点之间的关系。该矩阵是一个 \( 3 \times 3 \) 矩阵，包含了平面上的旋转和平移参数，能够简化二维坐标之间的转换过程。

  • 平面极线约束：在平面假设下，利用单应性矩阵可以从一个二维坐标系转换到另一个。通过消除与三维世界相关的缩放参数，这个过程帮助建立更简洁的约束关系。

奇异值分解的应用

尽管四点算法所观测到的点数量较少，但依然能够构造出足够的独立方程。通过奇异值分解，可以从矩阵中提取旋转、平移和平面参数。这些参数的提取虽然具有挑战性，但对于实现准确的相机运动估计是至关重要的。

退化配置与关键表面

在八点算法中，通常需要至少八个点进行重建，但如果这些点处于退化配置中（即所有点共面），算法将失效。这种情况在人工环境中非常常见。为解决此问题，四点算法假设所有点位于同一平面上，从而避免了八点算法所需的更大计算负担。

主要挑战与解决方案

不准确的点对应关系

在实际应用中，不准确的点对应关系会导致相机运动和三维结构重建的误差。尽管可以通过三角测量技术进行重建，但点数不足往往导致效果不佳。

束调整方法

为了提高重建精度，**束调整方法（Bundle Adjustment）**被引入，用于优化满足极点约束下的几何一致性。通过最小化估计坐标和真实坐标之间的误差，能够实现更精确的重建。

参数化方法的选择

优化过程中，选择在图像平面或三维空间中进行参数化会影响结果的对称性。无约束优化问题通常比有约束优化问题更容易解决，但在处理旋转矩阵时，虽然表面上看似无约束，实际上存在一定的约束条件，使得问题处理更加复杂。

总结

通过八点算法和四点算法，能够有效地解决多视几何中的结构与运动估计问题。这些算法利用线性代数和奇异值分解等数学工具，能够在不同的假设下实现相机运动参数和三维结构的估计。在实际应用中，根据具体场景选择合适的算法和参数化方法，可以提高计算效率和重建精度。