中科大-数字几何处理-Polycube1
本节课深入探讨了polycube的概念及其在网格生成中的应用，重点关注变换与优化问题的相互关系。课程首先明确了polycube的定义，指出其在三维空间中的应用对结构构建的重要意义。接着，探讨了映射问题如何转化为优化问题，并介绍了包括变形和体素为基础的多种求解算法，揭示了四元数在旋转任务中的应用，最终展示如何通过这些方法生成高质量的六面体网格，强调数学基础在整个过程中不可或缺的作用。
映射优化
在探索映射问题及其优化方法时，重点回顾了上节课中无翻转约束和特定约束的重要性。针对性约束条件不仅影响优化设计，还在复杂问题中得到有效的利用。课程着重介绍了polycube结构，作为一种在图形处理中的灵活且多样的工具，通过三维元素的叠加展示了其独特的应用潜力。
Polycube结构与性质
Polycube结构由小立方体组成，遵循整数格点约束，确保每个结构边和角点都位于整数格点上。与仅考虑边界和轴对齐的结构不同，polycube映射需确保无翻转和低扭曲，使其成为生成六面体网格的关键，进而影响有限元计算的精度和效率。通过合理的结构设计，polycube可以在工程实践中得到广泛应用。
六面体网格的高效生成 ...
PMP-多边形网格处理-参数化
参数化的主要目标是将复杂的3维模型转换到2维空间上。对于一个三角形网格模型，就是把它拍平到一个平面上。
从数学上解释，对三角形网格参数化的过程就是寻找一种映射，它能够把网格的每一个顶点i映射到(ui,vi)上。需要注意的一点是，经过映射后，任意两个三角形公共的部分只有可能是：一条边，一个顶点或者不存在。
重心映射(Barycentric Mapping)
重心映射是一种在三角化网格中比较常用的参数的方法。使用这种方法的网格必须满足下面的条件：
三角形网格与圆盘是同胚的(简单地说就是网格必须有边界并且不能有洞)，并且网格的边界在一个凸多边形上，同时内部的顶点是其周围顶点的凸组合。
假设顶点的索引按照{内部的顶点(1…n)，边界上的顶点(n+1…N)}排列，那么，对于任取实数λ，满足：
其中(i,j)∈E表示点i和点j相邻
然后将处于边界的点(索引为n+1到N的点)固定，用下面的线性方程去更新处于内部的顶点：
写成矩阵的形式就是要分别求解下面两个方程
而矩阵A的元素aij的取法有一般常见的有三种，其中最简单的一种是当下标i和j不相等的时候取1，下标i和j相等的时候取顶点i周围顶 ...
中科大-数字几何处理-网格映射
本节课讲解了网格映射、扭曲控制以及优化算法的应用，强调了如何通过优化工具实现无翻转的映射。
映射与优化的基本概念
网格映射是数学中的重要工具，广泛应用于不同领域中。通过研究网格变换，可以更好地理解其在参数化和去噪中的作用。讲师提到：
参数化与变形：这两者与网格映射密切相关。参数化可以被看作一种映射，通过重新定义空间来实现。
神经网络中的映射：处理非线性函数时，神经网络可用于理解复杂的映射关系，通过分析数据集实现高精度输出。
目标函数设计：在映射优化中，需考虑约束条件，确保行列式大于零以验证变换的有效性。
无翻转条件与MIPS算法
无翻转是确保三角形参数化的一项基本条件。翻转会导致朝向不一致，影响后续计算：
行列式约束：翻转的三角形其行列式会小于零。在处理时需特别注意这些三角形的朝向。
MIPS算法：通过该优化算法，可保持参数化过程中的无翻转状态，并在初始条件下确保优化不违反此约束。
优化过程与障碍函数
设计可以阻止行列式变为负的障碍函数以确保优化结果的有效性：
障碍函数：通过这个功能，目标函数能够惩罚退化的单元，从而保证行列式不为零。
迭代优化：采用高斯赛德尔方法逐步调整顶点 ...
南京大学-算法设计-写在后面
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中科大-数字几何处理-网格修复2
本节课探讨了网格修复的基本概念及其在三维扫描和CAD设计中的应用。常见的网格问题包括孤立点、悬挂边、孔洞和奇异面，这些缺陷不仅影响模型的完整性，还对设计和扫描的准确性造成了困扰。讨论了修复技术的必要性，并分析了不同应用对网格质量的需求，提出了修复的可能方法，如基于曲面和基于体积的方法。同时，介绍了映射概念和其在参数化与变形中的应用，强调无翻转和低扭曲的条件在设计中的关键性。
网格修复问题与解决方法
孤立点和悬挂边：在三维建模中，这些问题常导致模型的不连贯性，影响整体结构和设计精度。在CAD和扫描应用中，不同类型的噪声会影响最终的模型效果。
孔洞与奇异面：这些缺陷在可视化应用中也会严重影响展示效果，特别是在存在大孔洞时。通过有效的网格修复，可以保证信息传递的准确性和视觉表现的完整性。
几何一致性与方向一致性：渲染过程中不一致的面朝向会导致视觉效果失真，确保方向的一致性对改善视觉效果至关重要。避免退化三角形，可降低计算不稳定性，提高几何处理的精度。
可视化与FEM应用中的网格质量
质量对模拟效果的影响：高质量网格能减少噪声和失真，使有限元分析（FEM）的模拟结果更接近真 ...
中科大-数字几何处理-网格修复1
本节课深入探讨了网格修复（mesh repairing）的概念及其在工程实践中的重要性，特别是在三维扫描和CAD模型创建过程中遇到的挑战。网格修复不仅是一个去除模型伪影（artifacts）的过程，更是提升模型质量以满足后续应用需求的关键步骤。
网格修复与变形基础
网格修复的定义：
网格修复是通过去除几何模型中的缺陷，确保其适用于后续实际应用的技术过程。
伪影（artifacts）是模型中影响质量的缺陷，修复它们是生成符合应用标准的模型的关键。
模型变形（deformation）：
变形是在模型中通过编辑或建模任务修改形状的相关技术。
用于调整模型以消除设计或扫描过程中出现的误差和缝隙。
模型修复的实践要求
完整性的确保：
模型修复旨在填补模型中的缺口，提升其完整性和精确度，满足实际应用需求。
在三维扫描和CAD模型的创建过程中，误差和缺口问题通常由扫描或设计过程引入，需要通过修复技术解决。
转换与工具：
CAD中使用的修剪NURBS曲面常常需要转化为三角形网格以进行有效的有限元分析（FEA）。
修复过程需要考虑应用场景的不同而选择不同的工艺和工具处理这些ar ...
PMP-多边形网格处理-曲面平滑
一般有两种曲面平滑的方式:
Denoising：一般是去掉凸出曲面的部分(高频部分)，而保留和曲面相当的部分(低频部分)。即需要一个在离散三角形网格曲面上的低通滤波器(low-pass filters)，并且需要建立 频率 的相关概念。
Fairing：在平均(个人认为翻译成抹平更形象一些)的过程中，所做的不仅仅只是去除高频的部分。抹平的过程相当于是对曲面做了一个变换，使其从各个角度(曲率、高阶导数)上看尽可能的光滑。
傅里叶变换
傅里叶变换表示一种映射f ，它将函数从 空间域(spatial domain) f(x)变换到 频域(frequency domain) F(ω)
上式中的指数部分通过欧拉公式可以展开成如下的复数形式：
这是一个包含有正弦和余弦函数的，以ω为自变量的(可以看作是频率)函数，可以将这个函数看做向量空间上的一组正交基，即 频域(frequency domain)。
可以将f(x)(可积的复数函数)看作向量空间中的一个元素，然后对它做下面的内积运算：
那么，傅里叶变换在这里表示了一种基的变换。通过将向量f投影到不同频率的基向量上，然后对其进行累加 ...
中科大-数字几何处理-重心坐标
本节课深入探讨了重心坐标的理论及其在几何分析和模型设计领域的实际应用，尤其是平均值重心坐标。重心坐标在保证其有效性和可用性方面需要满足多个重要条件，这些性质在模型变形过程中发挥了关键作用。
重心坐标的基本条件
非负性：所有坐标值必须为非负，以确保其在几何模型中的应用合理。
单位分割：所有坐标的加和必须等于一，保证它们在描述几何形状时的完整性。
重现性：坐标在其各自位置上的自我再现性是确保几何形状无失真的基本条件。
平均值重心坐标：在几何建模中，通过对多边形的顶点进行加权计算，实现更精确的形状表示。
在凸多边形中，这些条件容易满足，而在凹多边形中可能会因为角度问题导致非负性条件的失效。
数学证明与调和映射
课程展示了如何通过基本三角恒等式简化复杂的数学表达式，以证明某表达式等于零。
向量角度关系：V0与其他向量的对比突显了坐标系转换的重要性，帮助简化复杂的数学方程。
权重函数属性：非负性、归一化和复原性确保了数学模型的有效性。
调和映射：通过分片线性映射的方式近似调和映射，凸显数学与实际应用的密切关系。
线性函数与拉普拉斯方程
通过分片线性函数近似调和函数，可以有效解决拉普拉斯 ...
中科大-数字几何处理-模型变形技术
课程主要围绕模型变形技术展开，其核心在于顶点位置的变化，而保持三角形之间的连接关系。
用户交互与区域设定
用户可以定义固定区域和移动区域，这种交互设定对实现有效变形至关重要。
变形传播的方法确保了变形信号的平滑传播，提升了用户体验。
多尺度变形与差分坐标
变形被分解为高频和低频信号，分别处理，有效保护细节和紊乱的信号。
讨论了变形转移和目标函数算法，隶属于图形处理和计算机视觉领域的重要概念。
变形转移与算法
变形转移：涉及将仿射变换对应于不同模型，特别有用在图形处理、动画制作中。
尽可能光滑算法（As Rigid As Possible）：在确保边长变化小的前提下，实现稳定变形。
局部全局优化算法：用于精确计算模型位置和旋转矩阵，提高变形准确性。
空间变形与控制
控制点的移动直接影响模型形状，调整控制点可以实现对模型精确控制。
基于笼子的自由变形：操作笼子形态来影响内部模型，支持复杂形状的变形。
控制网格与顶点位置
顶点位置通过控制网格来改变，是模型整体形状的关键。
基函数计算对网格顶点的调整至关重要，确保顶点间的关系一致。
重心坐标：展示在多边形中的应用，与传统三角 ...
PMP-多边形网格处理-微分几何
曲线
曲线是二维空间上可微分的一维流形。曲线可以用参数方程表示为如下形式：
p(u)=(x(u)y(u)),u∈[a,b]⊂R
其中x和y分别是关于u的可微函数，那么曲线在某一点的切向量则为各分量的一阶导数组成的向量，即：
p′(u)=(x′(u)y′(u)),u∈[a,b]⊂R
借由上式，如果p′(u)在u处不为0，则把这一点成为曲线的 正则点 。曲线上的点处处正则的曲线称为 正则曲线 (Regular Curve)。
下式可以求曲线在某一点的法向量的值：
n(u)=p′(u)⊥‖p′(u)⊥‖
同样的曲线是可以通过参数变换使用不同的参数来表示的。曲线的微分几何关注诸如 弧长 、曲率 之类的，独立于特定参数之外的属性，也就是说无论参数如何变换，这些属性的值都是相等的。
弧长
对于上述曲线，起始点a到曲线上任意点u之间的弧长可以表示为：
s(u)=∫au‖p′(s)‖du,u∈[a,b]
即弧长是切向量长度对曲线参数的积分。可以发现，弧长 独立与特定参数，并且将参数u从区间[a,b]映射到了区间[0,L]，其中L是曲线的弧长。
可以发现这是一个变上限积分函数，对两侧同时求导得到：
ds ...