PMP-多边形网格处理-Remeshing
关于Remeshing的一个简单的定义如下：
输入一个3D网格，通过计算得到另一个和输入大致相同且满足一定质量要求网格。
曲面的Remesing目标有以下两点：
根据需求减少曲面的复杂度
改善曲面的质量(Mesh Quality)
曲面的质量(Mesh Quality) 指的是一些 非拓扑属性(Non-Topological Properties) ，例如采样密度，正则性，大小，方位(Orientation)，对齐性(原文为Alignment，不太好翻译)，以及曲面网格的形状。
局部结构(Local Structure)
网格的局部结构(Local Structure)说的是网格元素的种类，形状，方位以及分布情况。
元素的种类(Element Type)
最为常用的两个种类是 三角形(Triangle) 和 四边形(Quadrangle) 。
四边形网格可以通过在每一个四边形中插入一条对角线，轻易地转换成三角形网格。
反过来，如果要把三角形网格转换为四边形网格，可以使用重心划分的方法：将三角形的重心和每一条边的中点连接，这样一个三角形就被划分成了3个四边形。另外还有一种方法：将 ...
中科大-数字几何处理-Morphing与配准
本节课主要讲解了形状插值（morphing）的概念，以及如何利用仿射变换进行点云配准。课程首先回顾了如何建立两个曲面之间的一一对应关系， 接着讲解了形状插值技术，特别是如何在动画制作中通过关键帧之间的插值生成自然流畅的动画。最后，课程介绍了点云配准中的 ICP 算法，包括其基本步骤：最近点匹配和旋转平移的优化。
形状插值 (Morphing)
Morphing 技术概述
Morphing 技术能够实现从一个形状到另一个形状的无缝转换，广泛应用于动画制作。
通过 Morphing 技术，艺术家只需设计关键帧，其余帧可以通过插值技术自动生成，从而大幅提高动画制作效率，并保持动画的流畅性和连贯性。
形状插值的关键步骤
建立对应关系: 使用服务映射（service mapping）技术，在两个曲面之间建立一一对应关系，确保两个网格的连接关系一致，以便进行有效的插值处理。
兼容匹配: 插值操作需要满足兼容匹配的条件，即网格的连接关系和顶点数量相同。
生成中间帧: 通过插值算法，在关键帧之间生成中间帧，实现形状的平滑过渡。
网格变换与插值过程
在处理网格变换时，仅顶点的位置需要改变， ...
中科大-数字几何处理-曲面映射
本节课主要探讨了在计算机图形学中，如何构建兼容网格和实现曲面之间的映射。课程内容涵盖了多面体结构的回顾、变形与构造方法的介绍，以及参数化技术在简化映射过程中的应用。在课程的最后部分，针对常见的挑战，如切割依赖性和映射扭曲，提供了具体的应对策略。
课程内容要点
Polycube构造与映射
课程的一个重点是介绍如何构造和映射玻璃立方体（polycube）与输入曲面之间的关系。这一部分内容详细阐述了通过变形算法调整模型法向，从而实现几何一致性的技术。此外，课程深入解释了surface mapping的概念，强调在模型间建立一对一映射的重要性，以确保动画效果的连贯性和信息的有效传递。
双射映射与兼容网格
在曲面映射中，双射关系的维护是一项基本要求。通过这种一对一的关系，每个点在一个曲面上都有唯一对应的目标点，从而有效避免重复和遗漏。这种精确的对应关系不仅在参数化过程中显得尤为重要，在实际应用中的纹理贴图等方面也具有决定性的作用。课程指出，兼容网格是强调连接关系和网格一致性的关键，这种兼容性允许不同模型在应用中保持正确的映射关系。
服务映射与三角形网格
课程介绍了三角形网格空间中的曲面映射方法， ...
中科大-数字几何处理-Polycube1
本节课深入探讨了polycube的概念及其在网格生成中的应用，重点关注变换与优化问题的相互关系。课程首先明确了polycube的定义，指出其在三维空间中的应用对结构构建的重要意义。接着，探讨了映射问题如何转化为优化问题，并介绍了包括变形和体素为基础的多种求解算法，揭示了四元数在旋转任务中的应用，最终展示如何通过这些方法生成高质量的六面体网格，强调数学基础在整个过程中不可或缺的作用。
映射优化
在探索映射问题及其优化方法时，重点回顾了上节课中无翻转约束和特定约束的重要性。针对性约束条件不仅影响优化设计，还在复杂问题中得到有效的利用。课程着重介绍了polycube结构，作为一种在图形处理中的灵活且多样的工具，通过三维元素的叠加展示了其独特的应用潜力。
Polycube结构与性质
Polycube结构由小立方体组成，遵循整数格点约束，确保每个结构边和角点都位于整数格点上。与仅考虑边界和轴对齐的结构不同，polycube映射需确保无翻转和低扭曲，使其成为生成六面体网格的关键，进而影响有限元计算的精度和效率。通过合理的结构设计，polycube可以在工程实践中得到广泛应用。
六面体网格的高效生成 ...
PMP-多边形网格处理-参数化
参数化的主要目标是将复杂的3维模型转换到2维空间上。对于一个三角形网格模型，就是把它拍平到一个平面上。
从数学上解释，对三角形网格参数化的过程就是寻找一种映射，它能够把网格的每一个顶点i映射到(ui,vi)上。需要注意的一点是，经过映射后，任意两个三角形公共的部分只有可能是：一条边，一个顶点或者不存在。
重心映射(Barycentric Mapping)
重心映射是一种在三角化网格中比较常用的参数的方法。使用这种方法的网格必须满足下面的条件：
三角形网格与圆盘是同胚的(简单地说就是网格必须有边界并且不能有洞)，并且网格的边界在一个凸多边形上，同时内部的顶点是其周围顶点的凸组合。
假设顶点的索引按照{内部的顶点(1…n)，边界上的顶点(n+1…N)}排列，那么，对于任取实数λ，满足：
其中(i,j)∈E表示点i和点j相邻
然后将处于边界的点(索引为n+1到N的点)固定，用下面的线性方程去更新处于内部的顶点：
写成矩阵的形式就是要分别求解下面两个方程
而矩阵A的元素aij的取法有一般常见的有三种，其中最简单的一种是当下标i和j不相等的时候取1，下标i和j相等的时候取顶点i周围顶 ...
中科大-数字几何处理-网格映射
本节课讲解了网格映射、扭曲控制以及优化算法的应用，强调了如何通过优化工具实现无翻转的映射。
映射与优化的基本概念
网格映射是数学中的重要工具，广泛应用于不同领域中。通过研究网格变换，可以更好地理解其在参数化和去噪中的作用。讲师提到：
参数化与变形：这两者与网格映射密切相关。参数化可以被看作一种映射，通过重新定义空间来实现。
神经网络中的映射：处理非线性函数时，神经网络可用于理解复杂的映射关系，通过分析数据集实现高精度输出。
目标函数设计：在映射优化中，需考虑约束条件，确保行列式大于零以验证变换的有效性。
无翻转条件与MIPS算法
无翻转是确保三角形参数化的一项基本条件。翻转会导致朝向不一致，影响后续计算：
行列式约束：翻转的三角形其行列式会小于零。在处理时需特别注意这些三角形的朝向。
MIPS算法：通过该优化算法，可保持参数化过程中的无翻转状态，并在初始条件下确保优化不违反此约束。
优化过程与障碍函数
设计可以阻止行列式变为负的障碍函数以确保优化结果的有效性：
障碍函数：通过这个功能，目标函数能够惩罚退化的单元，从而保证行列式不为零。
迭代优化：采用高斯赛德尔方法逐步调整顶点 ...
南京大学-算法设计-写在后面
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中科大-数字几何处理-网格修复2
本节课探讨了网格修复的基本概念及其在三维扫描和CAD设计中的应用。常见的网格问题包括孤立点、悬挂边、孔洞和奇异面，这些缺陷不仅影响模型的完整性，还对设计和扫描的准确性造成了困扰。讨论了修复技术的必要性，并分析了不同应用对网格质量的需求，提出了修复的可能方法，如基于曲面和基于体积的方法。同时，介绍了映射概念和其在参数化与变形中的应用，强调无翻转和低扭曲的条件在设计中的关键性。
网格修复问题与解决方法
孤立点和悬挂边：在三维建模中，这些问题常导致模型的不连贯性，影响整体结构和设计精度。在CAD和扫描应用中，不同类型的噪声会影响最终的模型效果。
孔洞与奇异面：这些缺陷在可视化应用中也会严重影响展示效果，特别是在存在大孔洞时。通过有效的网格修复，可以保证信息传递的准确性和视觉表现的完整性。
几何一致性与方向一致性：渲染过程中不一致的面朝向会导致视觉效果失真，确保方向的一致性对改善视觉效果至关重要。避免退化三角形，可降低计算不稳定性，提高几何处理的精度。
可视化与FEM应用中的网格质量
质量对模拟效果的影响：高质量网格能减少噪声和失真，使有限元分析（FEM）的模拟结果更接近真 ...
中科大-数字几何处理-网格修复1
本节课深入探讨了网格修复（mesh repairing）的概念及其在工程实践中的重要性，特别是在三维扫描和CAD模型创建过程中遇到的挑战。网格修复不仅是一个去除模型伪影（artifacts）的过程，更是提升模型质量以满足后续应用需求的关键步骤。
网格修复与变形基础
网格修复的定义：
网格修复是通过去除几何模型中的缺陷，确保其适用于后续实际应用的技术过程。
伪影（artifacts）是模型中影响质量的缺陷，修复它们是生成符合应用标准的模型的关键。
模型变形（deformation）：
变形是在模型中通过编辑或建模任务修改形状的相关技术。
用于调整模型以消除设计或扫描过程中出现的误差和缝隙。
模型修复的实践要求
完整性的确保：
模型修复旨在填补模型中的缺口，提升其完整性和精确度，满足实际应用需求。
在三维扫描和CAD模型的创建过程中，误差和缺口问题通常由扫描或设计过程引入，需要通过修复技术解决。
转换与工具：
CAD中使用的修剪NURBS曲面常常需要转化为三角形网格以进行有效的有限元分析（FEA）。
修复过程需要考虑应用场景的不同而选择不同的工艺和工具处理这些ar ...
PMP-多边形网格处理-曲面平滑
一般有两种曲面平滑的方式:
Denoising：一般是去掉凸出曲面的部分(高频部分)，而保留和曲面相当的部分(低频部分)。即需要一个在离散三角形网格曲面上的低通滤波器(low-pass filters)，并且需要建立 频率 的相关概念。
Fairing：在平均(个人认为翻译成抹平更形象一些)的过程中，所做的不仅仅只是去除高频的部分。抹平的过程相当于是对曲面做了一个变换，使其从各个角度(曲率、高阶导数)上看尽可能的光滑。
傅里叶变换
傅里叶变换表示一种映射f ，它将函数从 空间域(spatial domain) f(x)变换到 频域(frequency domain) F(ω)
上式中的指数部分通过欧拉公式可以展开成如下的复数形式：
这是一个包含有正弦和余弦函数的，以ω为自变量的(可以看作是频率)函数，可以将这个函数看做向量空间上的一组正交基，即 频域(frequency domain)。
可以将f(x)(可积的复数函数)看作向量空间中的一个元素，然后对它做下面的内积运算：
那么，傅里叶变换在这里表示了一种基的变换。通过将向量f投影到不同频率的基向量上，然后对其进行累加 ...