本次课程围绕“方向场”这一新主题展开，深入探讨其在图形学和几何处理中重要应用。

课程要点

方向场的定义与概念

  • 方向场概念：方向场在定义域内的每一点提供方向信息，不仅关注方向，还涉及大小。这提供了空间变化的全面理解，有助于理解复杂的数学模型。
  • 二维平面上的多方向定义：可以定义多个方向，尤其是相互垂直的四个方向，为构建局部方向场打下基础。
  • 参数化及其应用：三维曲面映射到二维平面，利用U和V的导数定义二方向场，揭示几何特性。

图形学中的不同场类型

  • 场的分类：
    • 方向场 vs 向量场：向量场具有大小和方向，方向场仅有方向。
    • 一方向场：最基础的场类型，允许在一点上定义一个方向。
    • 二方向场：具有两个相互独立的方向，表示旋转对称。
    • CROSSFIELD：定义了四个旋转对称方向，在局部坐标系建构中有广泛应用。

方向场与几何特性

  • 主曲率方向：理解几何形状基础，两主曲率方向垂直，通过分析可了解物体几何特性及力学行为。
  • 应力张量：力学分析中帮助理解物体受力方向。
  • 参数化：处理复杂曲面必不可少，通过合理参数化生成多方向场。

Cross Field生成与应用

  • 用户约束及对齐：须考虑，以确保方向场的生成符合主曲率方向。平滑生成结果以增强视觉和物理特性。
  • 网格生成中的作用：在四边形网格和三维六面体网格生成中都占据核心地位。

特殊领域应用

微分几何概念的应用

  • Killing向量场：保证变形过程中的等距性，通过设计合适的场降低扭曲复杂度；
  • 建筑几何：生成平面四边形网格，分析应力场设计方向场，以减少变形；
  • 切平面和连接概念：在离散化过程中，确保切空间在不同切平面间的一致性。

向量场的奇异点

  • 奇异点及索引：
    • 在二维分析点P的奇异性，通过参数化曲线的角度函数定义；
    • 使用指标计算帮助辨识奇异性；
    • 将案例推广至三维需引入局部坐标系统。
  • 索引与几何特性关系：根据庞加莱霍夫定理，索引总和遵循特定数学关系。
  • 主旋转概念: 通过方向差总和及归一化，辅助判断点是否为奇异点。

复杂优化中的数学工具

  • 旋转与匹配：
    • 旋转与匹配之间的关系决定误差计算结果；
    • 建立局部坐标系简化向量差异定义。
  • 整数规划与优化：
    • 通过三角函数去掉整数变量，简化优化问题；
    • 复数多项式有效描述向量场，整合求根过程。