本节课围绕离散微分几何的基础知识展开，详细讲解了局部平均区域、法向量、梯度和拉普拉斯算子的概念。同时，也探讨了这些概念在三维网格上的具体应用，如网格平滑和傅里叶变换的推广。

重要概念与技术

局部平均区域与法向量

  • 局部平均区域：通过重心中点、垂直平分线等形式定义。这些在空间划分中扮演关键角色，但钝角三角形中可能出现异常。
  • 法向量计算：对三角网格至关重要。通过加权平均周围面来计算顶点法向，确保无歧义，并提高网格平滑度。

梯度与拉普拉斯算子

  • 梯度计算：利用顶点上的函数插值到三角面片上，借助重心坐标实现函数值求解与推导。
  • 拉普拉斯算子：其对称性和均匀性在几何分析中起关键作用，特别是在平均曲率与高斯曲率计算中。均匀拉普拉斯算子尤其适合几何体的平滑处理。

信号处理技术

数据平滑与去噪

  • 数据平滑：通过保留重要模式而削减噪声的技术是图像处理和统计学中的关键。该过程涉及滤波、优化和数据驱动等方法。
  • 热扩散类比：直观理解信号平滑，通过空间和时间的离散化实现平滑效果，尤其是通过矩阵形式的离散拉普拉斯算子。

拉普拉斯平滑技术

  • 曲率影响：可降低曲线曲率值，使表面更加光滑。不同行的拉普拉斯算子如COTT等，对平滑效果有不同影响。
  • 信号处理：拉普拉斯平滑还可用于网格顶点上的任意函数，支持颜色信息和法向信号处理，提升视觉质量和信号平滑度。

三维网格处理

双边滤波与保体积策略

  • 双边滤波：同时平滑图像和保留边缘特征的技术，较传统高斯滤波更有效。应用于三维网格时需考虑颜色和空间相似性。
  • 保体积策略：在迭代中保持网格初始体积，通过加权平均法向提高网格质量，并在每次迭代后确保体积恒定。

形状优化与信号分析

  • 傅里叶变换推广：在三维网格上实现频率域分析，活用特征值分解进行信号的频谱分析与滤波。
  • 特征值问题：拉普拉斯算子在形状优化中应用广泛，通过特征符号和细节函数提取，提升三维打印和人脸识别的精度。