本节课讲解了参数化和变形的基本概念，其在计算机图形学的应用与重要性。参数化是将三维曲面映射到二维平面，而变形则涉及通过用户指定的位移来改变曲面形状，涉及基本区域如handle和fixed区域。

参数化概述

参数化是指将复杂的三维曲面转换为二维平面技术，应用于纹理和正常映射。其核心是法向信息、梯度以及拉普拉斯算子的使用：

  • 法向信息和拉普拉斯算子是参数化的基础。
  • 参数化在纹理映射中的应用显著提升了视觉效果和渲染效率。
  • 三种主要参数化算法：Twitter嵌入、角度优化等，每种算法具有独特的应用场景和理论基础。

拼接算法中的误差处理

在拼接过程中，数值误差会逐渐累积，影响结果的准确性。通过正弦定理结合旋转方法来建立等式，最小化误差提升拼接质量。

  • 先求解角度再求位置的方法处理数据转换；
  • 理解不同变换（等距、保角、保面积）的性质帮助改善拼接效果；
  • 减少数值误差的累积，确保拼接的成功性和准确性。

线性变换与奇异值分解（SVD）

线性变换在二维空间中非常重要，例如将圆形变换为椭圆形。

  • 等距变换：保持形状和大小不变。
  • 奇异值通过其性质描述变换的长短轴关系。
  • 优化过程需维持雅可比矩阵和旋转矩阵的关系。

优化与算法收敛

优化过程中涉及线性表达和旋转矩阵的关系。

  • 通过交替迭代方法优化能量。
  • 行列式通过判断三角形是否翻转影响计算。
  • 通过SVD分解确保旋转矩阵的优化，并调整行列式的符号。

能量变化与终止条件

能量的变化应小于指定值以确保算法的有效性和稳定性：

  • 能量的每次迭代均应确保其持续减少；
  • SVD分解和最小二乘法在大规模方程组求解中的应用；
  • 牛顿法用于动态调整参数使能量等式趋向零。

变形技术

变形通过用户指定的位移改变曲面形状，关键包括handle和fixed区域：

  • 通过基函数（如样条函数和RBF）进行描述；
  • 用户交互在变形过程中至关重要，能通过编辑基函数影响形状；
  • 变形和参数化可视为相辅相成，提供计算和操作的方便性。

设计中参数化的重要性

定义问题和用途至关重要，确保设计的明确目标和策略：

  • 考虑局部单射性和扭曲量等硬约束，保证结果质量。
  • 在局部编辑中，局部变化影响整体设计效果。
  • 用户交互提供自由区域位移，影响计算的自由度和结果的自然度。