MM's Journal of Technology

本节课深入探讨了重心坐标的理论及其在几何分析和模型设计领域的实际应用，尤其是平均值重心坐标。重心坐标在保证其有效性和可用性方面需要满足多个重要条件，这些性质在模型变形过程中发挥了关键作用。 重心坐标的基本条件 非负性：所有坐标值必须为非负，以确保其在几何模型中的应用合理。 单位分割：所有坐标的加和必须等于一，保证它们在描述几何形状时的完整性。 重现性：坐标在其各自位置上的自我再现性是确保几何形状无失真的基本条件。 平均值重心坐标：在几何建模中，通过对多边形的顶点进行加权计算，实现更精确的形状表示。 在凸多边形中，这些条件容易满足，而在凹多边形中可能会因为角度问题导致非负性条件的失效。 数学证明与调和映射 课程展示了如何通过基本三角恒等式简化复杂的数学表达式，以证明某表达式等于零。 向量角度关系：V0与其他向量的对比突显了坐标系转换的重要性，帮助简化复杂的数学方程。 权重函数属性：非负性、归一化和复原性确保了数学模型的有效性。 调和映射：通过分片线性映射的方式近似调和映射，凸显数学与实际应用的密切关系。 线性函数与拉普拉斯方程 通过分片线性函数近似调和函数，可以有效解决拉普拉斯 ...

课程主要围绕模型变形技术展开，其核心在于顶点位置的变化，而保持三角形之间的连接关系。 用户交互与区域设定 用户可以定义固定区域和移动区域，这种交互设定对实现有效变形至关重要。 变形传播的方法确保了变形信号的平滑传播，提升了用户体验。 多尺度变形与差分坐标 变形被分解为高频和低频信号，分别处理，有效保护细节和紊乱的信号。 讨论了变形转移和目标函数算法，隶属于图形处理和计算机视觉领域的重要概念。 变形转移与算法 变形转移：涉及将仿射变换对应于不同模型，特别有用在图形处理、动画制作中。 尽可能光滑算法（As Rigid As Possible）：在确保边长变化小的前提下，实现稳定变形。 局部全局优化算法：用于精确计算模型位置和旋转矩阵，提高变形准确性。 空间变形与控制 控制点的移动直接影响模型形状，调整控制点可以实现对模型精确控制。 基于笼子的自由变形：操作笼子形态来影响内部模型，支持复杂形状的变形。 控制网格与顶点位置 顶点位置通过控制网格来改变，是模型整体形状的关键。 基函数计算对网格顶点的调整至关重要，确保顶点间的关系一致。 重心坐标：展示在多边形中的应用，与传统三角 ...

曲线 曲线是二维空间上可微分的一维流形。曲线可以用参数方程表示为如下形式： p(u)=(x(u)y(u)),u∈[a,b]⊂R 其中x和y分别是关于u的可微函数，那么曲线在某一点的切向量则为各分量的一阶导数组成的向量，即： p′(u)=(x′(u)y′(u)),u∈[a,b]⊂R 借由上式，如果p′(u)在u处不为0，则把这一点成为曲线的 正则点 。曲线上的点处处正则的曲线称为 正则曲线 (Regular Curve)。 下式可以求曲线在某一点的法向量的值： n(u)=p′(u)⊥‖p′(u)⊥‖ 同样的曲线是可以通过参数变换使用不同的参数来表示的。曲线的微分几何关注诸如 弧长 、曲率 之类的，独立于特定参数之外的属性，也就是说无论参数如何变换，这些属性的值都是相等的。 弧长 对于上述曲线，起始点a到曲线上任意点u之间的弧长可以表示为： s(u)=∫au‖p′(s)‖du,u∈[a,b] 即弧长是切向量长度对曲线参数的积分。可以发现，弧长 独立与特定参数，并且将参数u从区间[a,b]映射到了区间[0,L]，其中L是曲线的弧长。 可以发现这是一个变上限积分函数，对两侧同时求导得到： ds ...

本节课讲解了参数化和变形的基本概念，其在计算机图形学的应用与重要性。参数化是将三维曲面映射到二维平面，而变形则涉及通过用户指定的位移来改变曲面形状，涉及基本区域如handle和fixed区域。 参数化概述 参数化是指将复杂的三维曲面转换为二维平面技术，应用于纹理和正常映射。其核心是法向信息、梯度以及拉普拉斯算子的使用： 法向信息和拉普拉斯算子是参数化的基础。 参数化在纹理映射中的应用显著提升了视觉效果和渲染效率。 三种主要参数化算法：Twitter嵌入、角度优化等，每种算法具有独特的应用场景和理论基础。 拼接算法中的误差处理 在拼接过程中，数值误差会逐渐累积，影响结果的准确性。通过正弦定理结合旋转方法来建立等式，最小化误差提升拼接质量。 先求解角度再求位置的方法处理数据转换； 理解不同变换（等距、保角、保面积）的性质帮助改善拼接效果； 减少数值误差的累积，确保拼接的成功性和准确性。 线性变换与奇异值分解（SVD） 线性变换在二维空间中非常重要，例如将圆形变换为椭圆形。 等距变换：保持形状和大小不变。 奇异值通过其性质描述变换的长短轴关系。 优化过程需维持雅可比矩阵和旋转矩阵的 ...

这节课主要介绍了网格参数化的基础概念及其在离散微分几何中的应用。课程内容涵盖了局部平均、法向量和拉普拉斯算子的定义，并详细讲解了网格参数化的重要性及其实现方法。这些概念对于后续的计算机图形学学习至关重要。 关键概念与方法 1. 局部平均与法向量 局部平均：在定义顶点区域时非常重要。课程中我们讨论了三种方法：重心中点、Voronoi图和两者混合，这些方法有助于理解数据的分布。 法向量的应用：在网格平滑过程中至关重要。顶点法向量可能不明确，而三角形面片上的法向量较为明确，有助于计算梯度。 2. 拉普拉斯算子 介绍了其在曲率计算上的应用，如高斯曲率和平均曲率，讨论了它们与拉普拉斯算子的关系。拉普拉斯算子有助于后续的可视化任务。 参数化技术 1. 参数化的基本概念 功能：将三维网格映射到二维区域，帮助理解和处理三维形状。 基本特性：参数化必须一一对应，即三维空间中的每个点在二维平面上的对应点是唯一的。 展开的意义：将三维物体展开为二维形式，方便计算及形状分析。 2. 方法与技巧 To This Embedding：通过设置边界条件和内部点的凸组合实现有效参数化。 角度基础的参数化 ...

本节课着重探讨了不同算法在网格平滑和去噪方面的应用，并重点介绍了机器学习在特征向量生成和法向量恢复中的作用。课程中涉及到的核心算法有双边滤波和基于拉普拉斯算子的优化方法。掌握这些算法的选择和参数的设置对实现高质量的图形处理至关重要。此外，课程还探讨了通过聚类和数据增强提升模型的鲁棒性，并鼓励大家在实践中应用所学知识。 网格去噪和特征保持 主要方法与挑战 平衡特征与噪声去除：在网格处理中，如何分离高频细节和噪声是一个关键挑战。设计有效的滤波算法是解决这一问题的基础。 优化算法的应用：基于优化的方法可以假设并最大化网格中的平坦区域，从而降低噪声的影响，确保关键特征的保留。 研究现状与反思：尽管相关论文众多，实际进展有限，强调了研究的质量而非数量的重要性。 跨领域启示与创新 图像处理的启发 跨领域影响：从其他学科汲取灵感有助于形成新的研究视角和解决方案。特别是在算法设计中，引入图像处理中的技术可以改善图像连贯性和色彩一致性。 优化问题设计：在保证输入与输出相似性方面，通过辅助变量优化复杂问题，提高处理精度。 优化策略与求解 实现路径 辅助变量与惩罚机制：通过增加辅助变量惩罚梯度与目 ...

选择网格数据结构的时候一般考虑下面两个因素： 拓扑需求(Topological Requirements) ：需要表示什么样的网格？是二维流形，还是其它更复杂的网格？是单纯的三角形网格，或者其它任意的多边形网格？是需要给当前的网格附加上其它的网格？ 算法需求(Algorithmic Requirements)：使用什么样的算法？是简单的渲染还是需要频繁的访问相邻的点边面？是静态网格还是动态网格？对于网格是否需要附加一些其它的属性？对内存的消耗是否特别在意？ 评估一个数据结构的好坏有下面几个标准： 建立数据结构所需要预处理的时间 查询操作的响应时间 执行某项具体操作的时间 内存消耗和冗余 Faced-Based Data Structures 这种数据结构最直观的优点是简单，这种数据结构由网格所有面的集合构成，而对于每一个面则使用组成面多边形的的点来表示。 以三角形网格为例，假设使用32位的单精度浮点数来表示坐标则，那么使用顶点的数据来表示一个三角形则需要36个字节(3 vertex * 3 dimension * 4 byte = 36 byte)。 通过上一部分的学 ...

本节课围绕离散微分几何的基础知识展开，详细讲解了局部平均区域、法向量、梯度和拉普拉斯算子的概念。同时，也探讨了这些概念在三维网格上的具体应用，如网格平滑和傅里叶变换的推广。 重要概念与技术 局部平均区域与法向量 局部平均区域：通过重心中点、垂直平分线等形式定义。这些在空间划分中扮演关键角色，但钝角三角形中可能出现异常。 法向量计算：对三角网格至关重要。通过加权平均周围面来计算顶点法向，确保无歧义，并提高网格平滑度。 梯度与拉普拉斯算子 梯度计算：利用顶点上的函数插值到三角面片上，借助重心坐标实现函数值求解与推导。 拉普拉斯算子：其对称性和均匀性在几何分析中起关键作用，特别是在平均曲率与高斯曲率计算中。均匀拉普拉斯算子尤其适合几何体的平滑处理。 信号处理技术 数据平滑与去噪 数据平滑：通过保留重要模式而削减噪声的技术是图像处理和统计学中的关键。该过程涉及滤波、优化和数据驱动等方法。 热扩散类比：直观理解信号平滑，通过空间和时间的离散化实现平滑效果，尤其是通过矩阵形式的离散拉普拉斯算子。 拉普拉斯平滑技术 曲率影响：可降低曲线曲率值，使表面更加光滑。不同行的拉普拉斯算子如CO ...

大体上看，有两种表示一个曲面的方式：参数方程 、 隐式方程 。 对于一个3D物体： 参数方程 是一个从 2维参数 到表示3D物体平面上点的空间坐标的 3维参数 的一个 映射 。 隐式方程 是一个等号左边为表示3D物体平面上点的空间坐标的 3维参数 构成的标量表达式，等号右边为0的方程。 以平面上的单位圆为例，它的参数方程和隐式方程如下： 参数方程 隐式方程 在实际中，一般根据实际需求采用不同的表示方法，这些需求一般分为如下3点： Evaluation：在对曲面进行采样的时候需要对其附加上一下除了空间信息之外的信息。例如在进行渲染的时候，除了几何体的空间坐标外，还需要其法向量信息。 Query：一个典型的空间查询是判断空间中的某个点是否在几何体的内部，另外还比如空间中某个点到某个曲面的距离。 Modification：一个曲面可以在 几何 上被修改(将一个平面卷起来)，还可以在 拓扑 关系上被修改(把几张纸合并成一张更大的纸或者挖掉一张纸的一部分)。 曲面的定义和属性 书中对于曲面的定义如下： an orientable continuous 2D ma ...

本节课的主题围绕三维数据表示的基本概念展开，深入探讨了多种数据结构在三维几何处理中的应用，包括点云、符号距离场、八叉树和三角形网格。尤其关注三角形网格的几何和拓扑方面，讲解了半边数据结构及其在邻域搜索中的应用。这些概念为进一步的算法开发提供了必要的基础。 三维数据结构 三角形网格 几何与拓扑：三角形网格由几何和拓扑两部分构成。几何部分关注顶点位置，而拓扑部分关心顶点间的连接关系。这种结构简单且有效，使算法设计变得更加直观。 半边数据结构：通过将每条边分为两条半边，可以高效地索引顶点、边和面，优化邻域搜索。在实际编程中，这种结构可以显著提升算法效率。 三维数据存储格式 OBJ和OFF文件格式：课程列举了常见的三维数据存储格式，强调了解这些格式能够避免错误并提高数据处理效率。 几何处理与计算 离散微分几何 基本微分量计算：离散微分几何的课程重点在于梯度、法向量、局部平均区域及拉普拉斯算子的计算方法。这为复杂几何操作奠定了基础。 局部平均区域与法向量 计算方法：局部平均区域的选择对几何量评估至关重要。大邻域提高光滑度但降低精度，小邻域提供较精确结果但对噪声敏感。因此，课程强调平 ...